Тенгсизликлар: 474 минг саволнинг атиги 28 фоизи тўғри ечилган
Ғолибжон Давронов
Бизнинг платформада абитуриентлар битта математика мавзуси бўйича 474 584 та савол ишлашган.
Тўғри жавоб — атиги 28,1 фоиз. Мавзу: тенгсизликлар ва уларнинг системаси.
Бу шунчаки паст натижа эмас. Бу — математикадаги энг кўп ишланган мавзу бўлиб, айни пайтда
деярли энг паст натижали мавзу. 16 331 та ўқувчи шу мавзуга тегди; улардан камида ўн савол
ишлаганлари 10 265 та, ва 574 таси ўнтадан биттасини ҳам тўғри еча олмади.
Рақамлар нима дейди
Қуйидаги жадвал — ўз базамиз: ҳар бир мавзу бўйича абитуриентлар ишлаган саволлар сони ва
тўғри жавоб улуши.
| Математика мавзуси | Ишланган савол | Тўғри жавоб |
|---|---|---|
| Тригонометрия | 77 697 | 27,5 % |
| Тенгсизликлар ва уларнинг системаси | 474 584 | 28,1 % |
| Функсиялар ва графиклар | 6 437 | 28,6 % |
| Прогрессиялар | 13 208 | 28,7 % |
| Планиметрия | 14 534 | 30,3 % |
| Тенгламалар ва системалар | 237 280 | 30,4 % |
| Матнли масалалар | 158 999 | 37,5 % |
| Сонлар ва амаллар | 95 725 | 40,9 % |
Эътибор беринг: сонлар ва амаллар мавзусида тўғри жавоб 40,9 фоиз, тенгсизликларда эса 28,1.
Фарқ — 12,8 фоиз пункт. Яъни бир хил абитуриент оддий ҳисоб-китобда икки саволдан биттасига яқин
жавоб топади, тенгсизликка келганда эса уч саволдан биттасини ҳам зўрға ечади.
Энг қизиқ томони шу: тенгсизликлар қийин мавзу эмас. Унда ёдланадиган формула деярли йўқ.
Хатоларнинг аксарияти ҳисобда эмас — белги ва аниқланиш соҳасида. Қуйида тўртта энг кўп
учрайдиган хато ва уларнинг ҳар бирига биттадан ҳақиқий савол.
Тенгсизлик тенгламадан нимаси билан фарқ қилади?
Тенгламада жавоб — сон ёки бир нечта сон. Тенгсизликда жавоб — оралиқ. Шу битта фарқ учта
оқибатга олиб келади.
Биринчидан, жавобни текшириш қийинлашади: тенгламада топилган сонни қўйиб кўрасиз, тенгсизликда
эса бутун оралиқни текшириш керак. Иккинчидан, оралиқнинг чегараси қўшиладими ёки йўқми деган
савол пайдо бўлади — бу «≤» ва «<» фарқи. Учинчидан, баъзи амаллар тенгсизлик белгисини
айлантириб юборади, тенгламада эса бундай нарса йўқ.
Тест варианти айнан шу уч нуқтадан фойдаланади. Вариантлар ичида кўпинча тўғри оралиқ ҳам,
чегараси нотўғри қўйилган оралиқ ҳам, белгиси айлантирилмаган оралиқ ҳам туради — учаласи бир-бирига
жуда ўхшайди.
Хато 1. Манфий сонга бўлганда белги айланмайди
Қоида битта: тенгсизликнинг иккала томонини манфий сонга кўпайтирсангиз ёки бўлсангиз,
белги тескарисига айланади. Мусбат сонга кўпайтирилганда айланмайди.
Мисол: −3х > 12. Иккала томонни −3 га бўламиз ва белгини айлантирамиз: х < −4.
Агар айлантирмасангиз, х > −4 чиқади — бу бутунлай бошқа оралиқ ва у ҳам вариантлар ичида туради.
Амалий маслаҳат: агар номаълум олдида манфий коэффициент бўлса, уни бўлиш ўрнига кўчиринг.
−3х > 12 ни 0 > 12 + 3х кўринишига келтирсангиз, кейин 3х < −12 ва х < −4 чиқади — белги билан
умуман ишлашингиз шарт эмас. Бу кичик одат хатоларнинг катта қисмини йўқ қилади.
Хато 2. Модуль тенгсизлигида икки ҳолат чалкашади
Модуль белгиси тенгсизликни иккига бўлади, лекин қандай бўлиши белгининг йўналишига боғлиқ.
| Кўриниш | Нимага ёйилади | Жавоб шакли |
|---|---|---|
| |ф(х)| < а (а > 0) | −а < ф(х) < а | битта оралиқ |
| |ф(х)| > а (а > 0) | ф(х) < −а ёки ф(х) > а | иккита оралиқ |
| |ф(х)| < а (а ≤ 0) | ечим йўқ | бўш тўплам |
| |ф(х)| > а (а < 0) | ҳар қандай х | бутун сон ўқи |
Банкимиздаги ҳақиқий савол: |2х + 1| ≤ 7. Бу биринчи қатор — «кичик» кўриниши, демак
битта оралиқ: −7 ≤ 2х + 1 ≤ 7. Уч қисмдан 1 ни айирамиз: −8 ≤ 2х ≤ 6. Иккига бўламиз: −4 ≤ х ≤ 3.
Шу саволнинг вариантлари орасида −3 ≤ х ≤ 4 ҳам бор. У −4 ≤ х ≤ 3 га жуда ўхшайди ва шошиб
ишлаган абитуриент айнан шуни танлайди. Фарқ — 1 ни айириш ўрнига қўшиб юборишда.
Иккинчи мисол қийинроқ: х² − |х| − 2 < 0, бутун ечимлар сони сўралган. Бу ерда
алмаштириш ёрдам беради: т = |х| деб оламиз, т ≥ 0. У ҳолда т² − т − 2 < 0, яъни (т − 2)(т + 1) < 0,
демак −1 < т < 2. Лекин т ≥ 0, шунинг учун 0 ≤ т < 2, яъни |х| < 2 ва −2 < х < 2.
Бутун сонлар: −1, 0, 1 — учта.
Хато 3. Касрни қисқартириб, илдизни йўқотиш
Бу энг нозик тузоқ. Банкимиздаги савол: (х² − х − 6) / (х² − 9) ≤ 0, бутун ечимлар сўралган.
Кўпчилик шундай қилади: сурат (х − 3)(х + 2), махраж (х − 3)(х + 3). (х − 3) қисқаради,
қолади (х + 2)/(х + 3) ≤ 0, бундан −3 < х ≤ −2 ва бутун ечим −2. Жавоб тўғри, лекин
йўл хавфли: қисқартирилган (х − 3) кўпинча унутилади.
Тўғри тартиб бундай. Аввал аниқланиш соҳасини ёзинг: махраж нолга тенг бўлмасин, яъни
х ≠ 3 ва х ≠ −3. Шундан кейингина қисқартиринг. Агар х = 3 ни жавобга қўшиб юборсангиз, ифода
умуман аниқланмаган нуқтани ечим деб эълон қилган бўласиз.
Иккинчи қоида: каср тенгсизликда махражни кўпайтириб ташламанг. Махражнинг ишораси номаълум,
демак белги айланадими-йўқми билмайсиз. Касрни бир томонга йиғиб, интерваллар усулини қўллаш керак.
Хато 4. Илдиз ва логарифмда аниқланиш соҳаси унутилади
Илдиз остидаги ифода манфий бўлолмайди, логарифм остидаги ифода эса қатъий мусбат бўлиши шарт.
Бу шартлар ечимдан олдин ёзилади.
Банкдаги савол: √(х − 1) − √(2х − 5) > 0. Аввал аниқланиш соҳаси: х − 1 ≥ 0 ва 2х − 5 ≥ 0,
демак х ≥ 2,5. Энди тенгсизликни кўчирамиз: √(х − 1) > √(2х − 5). Иккала томон манфий эмас,
шунинг учун квадратга кўтариш мумкин: х − 1 > 2х − 5, бундан х < 4.
Иккала шартни бирлаштирамиз: 2,5 ≤ х < 4.
Агар аниқланиш соҳасини ёзмасангиз, фақат х < 4 қолади — ва бу вариантлар ичида туради.
Логарифмда ҳам худди шундай. лог₂(х − 1) ≥ 3 саволида кўпчилик дарров х − 1 ≥ 8 деб ёзади
ва х ≥ 9 ни топади. Жавоб тўғри, чунки х ≥ 9 аллақачон х > 1 шартини қаноатлантиради. Лекин
белги «≤» бўлганда шу одат хатога олиб келади: аниқланиш соҳаси жавобни кесиб қўяди.
Интерваллар усули: беш қадамли тартиб
Кўпҳадли ва каср тенгсизликларнинг деярли ҳаммаси битта усул билан ечилади. Уни ёдлаб олсангиз,
мавзунинг ярми ёпилади.
- Ҳамма нарсани бир томонга йиғинг, иккинчи томонда 0 қолсин.
- Сурат ва махражни кўпайтувчиларга ажратинг.
- Нолларни топинг: сурат нолга айланадиган нуқталар ва махраж нолга айланадиган нуқталар.
- Бу нуқталарни сон ўқига қўйинг. Махражнинг ноллари доим очиқ (тўлдирилмаган) нуқта бўлади.
- Энг ўнгдаги оралиқдан бошлаб ишорани белгиланг ва чапга қараб алмаштириб боринг.
Бешинчи қадамда битта истисно бор: агар кўпайтувчи жуфт даражада бўлса (масалан (х − 2)²),
ўша нуқтада ишора алмашмайди. Бу қоидани билмаслик жавобни бутунлай ўзгартириб юборади.
Ўзингизни текширинг: банкдан бешта савол
Қуйидагилар — платформамиздаги ҳақиқий тест саволлари. Аввал ўзингиз ечинг, кейин жавобга қаранг.
| Савол | Жавоб |
|---|---|
| 10^(х−1) < 10⁴ | х < 5 |
| лог₂(х − 1) ≥ 3 | х ∈ [9; +∞) |
| |2х + 1| ≤ 7 | х ∈ [−4; 3] |
| х² − |х| − 2 < 0 тенгсизлигини қаноатлантирувчи бутун сонлар сони | 3 та (−1, 0, 1) |
| √(х−1) − √(2х−5) > 0 | х ∈ [2,5; 4) |
Учтасини тўғри ечсангиз, мавзу асосан ўзлаштирилган — фақат тезлик устида ишланг.
Икки ёки ундан кам бўлса, қуйидаги режадан бошланг.
Нимадан бошлаш керак?
Тенгсизликларни «ўқиб» ўрганиб бўлмайди — фақат ишлаб. Лекин тартибсиз ишлаш ҳам фойда бермайди:
хатолар тўртта гуруҳга бўлинади ва уларни алоҳида ёпиш керак.
| Кун | Нима қилинади |
|---|---|
| 1–2 | Белги қоидаси: манфийга кўпайтириш ва бўлиш. 20 та оддий чизиқли тенгсизлик. |
| 3–4 | Интерваллар усули: квадрат ва кўпҳадли тенгсизликлар. |
| 5–6 | Модуль: тўрт кўриниш, ҳар бирига 10 тадан мисол. |
| 7–8 | Каср тенгсизликлар ва қисқартириш тузоғи. |
| 9–10 | Илдиз ва логарифм: аввал ODZ, кейин ечим. |
Ҳар бир кундан кейин хато қилган саволингизни қайтадан, бошидан ечинг — жавобга қарамасдан.
Хато қаэрда кетганини топмасангиз, эртага худди шу жойда яна адашасиз.
Машқ қилиш учун амалиёт бўлимидаги математика тестларидан
фойдаланинг — банкимизда шу мавзу бўйича 390 та савол бор. Бутун математика бўлими бўйича
тайёргарлик режасини математика қўлланмасида
кўришингиз мумкин, умумий тайёргарлик тартиби эса
тўлиқ қўлланмада.
Математика ДТМ тестида мажбурий фан: 30 та савол, ҳар бири 1,1 балл, жами 33 балл.
Тенгсизликлар бу саволларнинг сезиларли қисмини ташкил қилади — яъни битта мавзуни ёпиш билан
умумий балингизни бир неча балл кўтаришингиз мумкин.
Манба: TestMakon.uz ўз маълумотлар базаси — 16 331 та ўқувчи, «Тенгсизликлар ва уларнинг
системаси» мавзуси бўйича 474 584 та ишланган савол ва 390 та савол банки
(UserTopicPerformance, Question). Балл тузилмаси: Вазирлар Маҳкамасининг
578-сон қарори асосидаги тест тартиби. Текширилган сана: 2026-йил 27-август.
Шу мавзуда яна: тригонометрия — математикадаги энг паст натижали мавзу.
