Прогрессиялар: 13 228 саволнинг атиги 28,7 фоизи тўғри ишланган
Ғолибжон Давронов
Математика миллий сертификат имтиҳонига 30 кун қолди: кузги сессия 28–29-сентабр кунлари ўтказилади. Шу 30 кунда қайси мавзуга қайтиш кераклигини бизнинг ўқувчиларимизнинг натижаси аниқ кўрсатиб турибди.
ТестМаконъда «Прогрессиялар (арифметик ва геометрик)» мавзусида 4 025 нафар ўқувчи жами 13 228 та савол ишлаган. Тўғри жавоб — 3 797 та, яъни 28,7 %. Бу математикадаги энг паст учта кўрсаткичдан бири: ундан пастда фақат Тригонометрия (27,5 %) ва Тенгсизликлар (28,1 %) турибди. Солиштиринг: сонлар ва амаллар мавзусида натижа 40,9 %, матнли масалаларда 37,5 %.
Прогрессиялар саккизта формуладан иборат — нега натижа 28,7 фоиз
Прогрессиялар математиканинг энг катта мавзуси эмас. Тенгсизликларда 475 180 та савол ишланган, прогрессияларда эса 13 228 та — 36 баробар кам. Формулалар сони ҳам оз: ҳаммаси бир жадвалга сиғади. Шунга қарамай хато улуши деярли бир хил.
Сабаб формулалар сонида эмас. Банк саволларининг аксарияти битта формулани эмас, иккитасини кетма-кет қўллашни талаб қилади: аввал берилган икки ҳаддан д ёки қ топилади, кейин топилган қиймат йиғинди формуласига қўйилади. Биринчи қадамда хато қилинса, иккинчиси ҳам хато чиқади — жавоб эса вариантлар орасида туради, чунки тест тузувчи айнан шу икки хатонинг натижасини чалғитувчи вариант қилиб қўяди.
Тригонометрияда тўсиқ бошқача — у ерда даврийлик ва илдизлар сони чалкаштиради, биз буни алоҳида қўлланмада кўрсатган эдик. Прогрессияда эса тўсиқ — икки қадамли занжир.
Саккиз формула: иккаласи ёнма-ён
Қуйидаги жадвални бир вараққа кўчириб олинг. Имтиҳонга қадар ундан бошқа формула керак бўлмайди.
| Нима топилади | Арифметик прогрессия | Геометрик прогрессия |
|---|---|---|
| Кетма-кетлик қоидаси | аₙ₊₁ = аₙ + д | бₙ₊₁ = бₙ · қ |
| н-ҳад | аₙ = а₁ + (н − 1)д | бₙ = б₁ · қн−1 |
| Икки ҳад орасидаги боғланиш | аₙ = аₖ + (н − к)д | бₙ = бₖ · қн−к |
| Биринчи н ҳаднинг йиғиндиси | Сₙ = н(а₁ + аₙ)/2 | Сₙ = б₁(қⁿ − 1)/(қ − 1), қ ≠ 1 |
| Йиғиндининг иккинчи шакли | Сₙ = н(2а₁ + (н − 1)д)/2 | — |
| Ўрта ҳад хоссаси | аₙ = (аₙ₋₁ + аₙ₊₁)/2 | бₙ² = бₙ₋₁ · бₙ₊₁ |
| Чексиз йиғинди | йўқ | С = б₁/(1 − қ), |қ| < 1 |
Белгилар: а₁ — биринчи ҳад, д — арифметик прогрессия айирмаси, қ — геометрик прогрессия махражи, н — ҳад рақами, Сₙ — биринчи н та ҳаднинг йиғиндиси.
Икки турни ажратиш қоидаси битта: айирма доимий бўлса — арифметик, нисбат доимий бўлса — геометрик. 4, 9, 14, 19 кетма-кетлигида ҳар сафар 5 қўшилади — арифметик. 3, 6, 12, 24 да ҳар сафар 2 га кўпайтирилади — геометрик.
Қайси формулани қачон оласиз
Имтиҳонда формулани эслаш эмас, тўғрисини танлаш қийин. Шартдаги битта сўзга қараб қарор қилинг:
| Шартда нима берилган | Қайси формуладан бошлайсиз | Нима чиқади |
|---|---|---|
| Иккита ҳад рақами билан (а₃ ва а₈) | аₙ = аₖ + (н − к)д | д ёки қ |
| Битта ҳад ва йиғинди | Сₙ = н(а₁ + аₙ)/2 | а₁ ёки н |
| «Нечта ҳад» сўралган | аₙ формуласи + тенгсизлик | н нинг бутун қиймати |
| «Чексиз йиғинди» сўзи бор | С = б₁/(1 − қ) | Фақат |қ| < 1 да |
| Учта кетма-кет ҳад | Ўрта ҳад хоссаси | Номаълум ҳад ёки д |
Энг қисқа текширув: саволда «ҳади» деб ёзилганми ёки «йиғиндиси» деб? Биринчиси — аₙ формуласи, иккинчиси — Сₙ формуласи. Шу битта савол хатоларнинг катта қисмини тўхтатади.
Масала 1: а₃ = 14 ва а₈ = 39 бўлса, С₁₀ нечага тенг?
1-қадам. Айирмани топинг. а₈ = а₃ + (8 − 3)д, яъни 39 = 14 + 5д → 5д = 25 → д = 5.
2-қадам. Биринчи ҳадни топинг. а₃ = а₁ + 2д → 14 = а₁ + 10 → а₁ = 4.
3-қадам. Ўнинчи ҳадни топинг. а₁₀ = 4 + 9·5 = 49.
4-қадам. Йиғиндини ҳисобланг. С₁₀ = 10(4 + 49)/2 = 5 · 53 = 265.
Текширув: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49 — ўнинчи ҳад 49, ҳаммасининг йиғиндиси 265. Учинчи ҳад 14 ва саккизинчиси 39 экани шартга мос.
Бу ерда нима хато кетади: кўпчилик иккинчи қадамда а₃ = а₁ + 3д деб ёзади ва а₁ = −1 чиқаради. Учинчи ҳадгача икки қадам бор, уч эмас: а₁ → а₂ → а₃. Шу битта хатодан кейин С₁₀ = 220 чиқади — ва бу сон вариантлар орасида туради.
Масала 2: б₂ = 6 ва б₅ = 48 бўлса, олти ҳаднинг йиғиндиси қанча?
1-қадам. Махражни топинг. б₅ = б₂ · қ³ → 48 = 6қ³ → қ³ = 8 → қ = 2.
2-қадам. Биринчи ҳадни топинг. б₂ = б₁ · қ → 6 = 2б₁ → б₁ = 3.
3-қадам. Йиғиндини ҳисобланг. С₆ = 3(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 3 · 63 = 189.
Текширув: 3, 6, 12, 24, 48, 96 — иккинчи ҳад 6, бешинчиси 48, йиғиндиси 189.
Бу ерда нима хато кетади: даража нотўғри олинади — б₅ = б₂ · қ⁴ деб ёзилади, чунки 5 ва 2 рақамлари орасидаги фарқ эмас, уларнинг ўзи ҳисобга олинади. Қоида оддий: даража — рақамлар фарқи, 5 − 2 = 3.
Масала 3: а₁ = 7, д = 4 бўлса, 100 дан кичик нечта ҳад бор?
Бу тур савол прогрессия банкидаги энг кўп учрайдиганларидан бири ва айнан шу ерда «битта ҳад» хатоси туғилади.
1-қадам. Умумий ҳадни ёзинг. аₙ = 7 + (н − 1)·4 = 4н + 3.
2-қадам. Тенгсизлик тузинг. 4н + 3 < 100 → 4н < 97 → н < 24,25.
3-қадам. н бутун сон эканини эсланг. н ≤ 24, яъни 24 та ҳад.
Текширув: а₂₄ = 4·24 + 3 = 99 (100 дан кичик), а₂₅ = 103 (кичик эмас). Демак 24 та.
Бу ерда нима хато кетади: н < 24,25 дан н = 25 деб яхлитланади ёки тенгсизлик «≤ 100» деб ўқилади. Ечимни доимо охирги ва ундан кейинги ҳадни ҳисоблаб тугатинг — икки қатор ёзув бутун масалани тасдиқлайди.
Энг кўп учрайдиган тўртта хато
| Хато | Нима содир бўлади | Текшириш усули |
|---|---|---|
| н-ҳад ўрнига йиғинди формуласи қўлланилади | а₁₀ = 49 ўрнига 265 ёзилади | Саволда «ҳади» сўзи борми ёки «йиғиндиси»? |
| н нотўғри саналади | а₃ дан а₈ гача 5 қадам, 6 эмас | н − к ни ёзиб чиқинг: 8 − 3 = 5 |
| қ манфий экани унутилади | қ² = 4 дан фақат қ = 2 олинади | қ = ±2 ни иккаласини текширинг |
| Чексиз йиғинди |қ| ≥ 1 да ҳисобланади | Манфий ёки маъносиз жавоб | |қ| < 1 шартини ёзиб қўйинг |
Тўрттасининг учтаси ҳисоб-китобга эмас, ўқишга тегишли: шарт нотўғри тушунилади. Шунинг учун прогрессия масаласини ўқиб бўлгач, ечишдан олдин бир жумла ёзинг: «Менга н-ҳад керак» ёки «Менга йиғинди керак».
Сертификат имтиҳонида прогрессиялар қаерда чиқади
Математика миллий сертификат имтиҳони 45 топшириқдан иборат ва 150 дақиқа давом этади. Расмий спецификацияда Й-1 бўлимининг энг катта блоки — «Алгебраик шакл алмаштиришлар», унга 11 та топшириқ ажратилган. Прогрессиялар айнан шу блок ичида: тригонометрия, логарифм, фоизлар ва матнли масалалар билан бир қаторда.
Яъни прогрессия саволи чиқиши ҳам, чиқмаслиги ҳам мумкин — лекин у тушадиган блок Й-1 бўлимининг учдан биридан кўпроғини эгаллайди. Имтиҳон тузилиши, даража шкаласи ва ДТМъда неча балл бериши ҳақида математика сертификати саҳифасида ёзилган; баҳолаш тартиби эса «Миллий сертификат қандай ишлайди» саҳифасида.
Ўзингизни текширинг
Олтита савол — ҳар бири 30 сониялик. Жавобни ёпиб қўйинг ва ўзингиз ечинг.
| Савол | Жавоб |
|---|---|
| 1. а₁ = 3, д = 7. а₁₂ нечага тенг? | 3 + 11·7 = 80 |
| 2. Арифметик прогрессияда а₄ = 11, а₉ = 31. д нечага тенг? | (31 − 11)/(9 − 4) = 4 |
| 3. б₁ = 5, қ = 3. Учинчи ҳад нечага тенг? | 5 · 3² = 45 |
| 4. 2 + 6 + 18 + … кетма-кетликда биринчи 5 та ҳаднинг йиғиндиси? | 2(3⁵ − 1)/(3 − 1) = 242 |
| 5. 9 + 3 + 1 + … чексиз йиғиндиси? | қ = 1/3, С = 9/(1 − 1/3) = 13,5 |
| 6. а₁ = 5, д = 6. Нечта ҳад 80 дан кичик? | 6н − 1 < 80 → н ≤ 13, яъни 13 та |
Тўрттадан кам тўғри жавоб чиқса, жадвалнинг биринчи икки қаторига қайтинг: аₙ ва Сₙ формулаларини ажрата олмаслик қолган ҳамма хатонинг манбаи.
Машқ қилиш учун: математика сертификат форматидаги бепул вариантлар ва банк саволлари. Яқин мавзулар бўйича иккита қўлланма бор — тенгсизликлар (28,1 %) ва математика формулалари ва мавзулар рўйхати.
Манба: имтиҳон саналари ва тузилиши — Баҳолаш агентлиги эълони асосидаги 2026-йил кузги графиги; топшириқлар тақсимоти — математика фани расмий спецификацияси (IV бўлим); натижа кўрсаткичлари — TestMakon базаси, 2026-йил 29-август ҳолатига.
