Tengsizliklar: 474 ming savolning atigi 28 foizi to'g'ri yechilgan
Gʻolibjon Davronov
Bizning platformada abituriyentlar bitta matematika mavzusi bo'yicha 474 584 ta savol ishlashgan.
To'g'ri javob — atigi 28,1 foiz. Mavzu: tengsizliklar va ularning sistemasi.
Bu shunchaki past natija emas. Bu — matematikadagi eng ko'p ishlangan mavzu bo'lib, ayni paytda
deyarli eng past natijali mavzu. 16 331 ta o'quvchi shu mavzuga tegdi; ulardan kamida o'n savol
ishlaganlari 10 265 ta, va 574 tasi o'ntadan bittasini ham to'g'ri yecha olmadi.
Raqamlar nima deydi
Quyidagi jadval — o'z bazamiz: har bir mavzu bo'yicha abituriyentlar ishlagan savollar soni va
to'g'ri javob ulushi.
| Matematika mavzusi | Ishlangan savol | To'g'ri javob |
|---|---|---|
| Trigonometriya | 77 697 | 27,5 % |
| Tengsizliklar va ularning sistemasi | 474 584 | 28,1 % |
| Funksiyalar va grafiklar | 6 437 | 28,6 % |
| Progressiyalar | 13 208 | 28,7 % |
| Planimetriya | 14 534 | 30,3 % |
| Tenglamalar va sistemalar | 237 280 | 30,4 % |
| Matnli masalalar | 158 999 | 37,5 % |
| Sonlar va amallar | 95 725 | 40,9 % |
E'tibor bering: sonlar va amallar mavzusida to'g'ri javob 40,9 foiz, tengsizliklarda esa 28,1.
Farq — 12,8 foiz punkt. Ya'ni bir xil abituriyent oddiy hisob-kitobda ikki savoldan bittasiga yaqin
javob topadi, tengsizlikka kelganda esa uch savoldan bittasini ham zo'rg'a yechadi.
Eng qiziq tomoni shu: tengsizliklar qiyin mavzu emas. Unda yodlanadigan formula deyarli yo'q.
Xatolarning aksariyati hisobda emas — belgi va aniqlanish sohasida. Quyida to'rtta eng ko'p
uchraydigan xato va ularning har biriga bittadan haqiqiy savol.
Tengsizlik tenglamadan nimasi bilan farq qiladi?
Tenglamada javob — son yoki bir nechta son. Tengsizlikda javob — oraliq. Shu bitta farq uchta
oqibatga olib keladi.
Birinchidan, javobni tekshirish qiyinlashadi: tenglamada topilgan sonni qo'yib ko'rasiz, tengsizlikda
esa butun oraliqni tekshirish kerak. Ikkinchidan, oraliqning chegarasi qo'shiladimi yoki yo'qmi degan
savol paydo bo'ladi — bu «≤» va «<» farqi. Uchinchidan, ba'zi amallar tengsizlik belgisini
aylantirib yuboradi, tenglamada esa bunday narsa yo'q.
Test varianti aynan shu uch nuqtadan foydalanadi. Variantlar ichida ko'pincha to'g'ri oraliq ham,
chegarasi noto'g'ri qo'yilgan oraliq ham, belgisi aylantirilmagan oraliq ham turadi — uchalasi bir-biriga
juda o'xshaydi.
Xato 1. Manfiy songa bo'lganda belgi aylanmaydi
Qoida bitta: tengsizlikning ikkala tomonini manfiy songa ko'paytirsangiz yoki bo'lsangiz,
belgi teskarisiga aylanadi. Musbat songa ko'paytirilganda aylanmaydi.
Misol: −3x > 12. Ikkala tomonni −3 ga bo'lamiz va belgini aylantiramiz: x < −4.
Agar aylantirmasangiz, x > −4 chiqadi — bu butunlay boshqa oraliq va u ham variantlar ichida turadi.
Amaliy maslahat: agar noma'lum oldida manfiy koeffitsiyent bo'lsa, uni bo'lish o'rniga ko'chiring.
−3x > 12 ni 0 > 12 + 3x ko'rinishiga keltirsangiz, keyin 3x < −12 va x < −4 chiqadi — belgi bilan
umuman ishlashingiz shart emas. Bu kichik odat xatolarning katta qismini yo'q qiladi.
Xato 2. Modul tengsizligida ikki holat chalkashadi
Modul belgisi tengsizlikni ikkiga bo'ladi, lekin qanday bo'lishi belgining yo'nalishiga bog'liq.
| Ko'rinish | Nimaga yoyiladi | Javob shakli |
|---|---|---|
| |f(x)| < a (a > 0) | −a < f(x) < a | bitta oraliq |
| |f(x)| > a (a > 0) | f(x) < −a yoki f(x) > a | ikkita oraliq |
| |f(x)| < a (a ≤ 0) | yechim yo'q | bo'sh to'plam |
| |f(x)| > a (a < 0) | har qanday x | butun son o'qi |
Bankimizdagi haqiqiy savol: |2x + 1| ≤ 7. Bu birinchi qator — «kichik» ko'rinishi, demak
bitta oraliq: −7 ≤ 2x + 1 ≤ 7. Uch qismdan 1 ni ayiramiz: −8 ≤ 2x ≤ 6. Ikkiga bo'lamiz: −4 ≤ x ≤ 3.
Shu savolning variantlari orasida −3 ≤ x ≤ 4 ham bor. U −4 ≤ x ≤ 3 ga juda o'xshaydi va shoshib
ishlagan abituriyent aynan shuni tanlaydi. Farq — 1 ni ayirish o'rniga qo'shib yuborishda.
Ikkinchi misol qiyinroq: x² − |x| − 2 < 0, butun yechimlar soni so'ralgan. Bu yerda
almashtirish yordam beradi: t = |x| deb olamiz, t ≥ 0. U holda t² − t − 2 < 0, ya'ni (t − 2)(t + 1) < 0,
demak −1 < t < 2. Lekin t ≥ 0, shuning uchun 0 ≤ t < 2, ya'ni |x| < 2 va −2 < x < 2.
Butun sonlar: −1, 0, 1 — uchta.
Xato 3. Kasrni qisqartirib, ildizni yo'qotish
Bu eng nozik tuzoq. Bankimizdagi savol: (x² − x − 6) / (x² − 9) ≤ 0, butun yechimlar so'ralgan.
Ko'pchilik shunday qiladi: surat (x − 3)(x + 2), maxraj (x − 3)(x + 3). (x − 3) qisqaradi,
qoladi (x + 2)/(x + 3) ≤ 0, bundan −3 < x ≤ −2 va butun yechim −2. Javob to'g'ri, lekin
yo'l xavfli: qisqartirilgan (x − 3) ko'pincha unutiladi.
To'g'ri tartib bunday. Avval aniqlanish sohasini yozing: maxraj nolga teng bo'lmasin, ya'ni
x ≠ 3 va x ≠ −3. Shundan keyingina qisqartiring. Agar x = 3 ni javobga qo'shib yuborsangiz, ifoda
umuman aniqlanmagan nuqtani yechim deb e'lon qilgan bo'lasiz.
Ikkinchi qoida: kasr tengsizlikda maxrajni ko'paytirib tashlamang. Maxrajning ishorasi noma'lum,
demak belgi aylanadimi-yo'qmi bilmaysiz. Kasrni bir tomonga yig'ib, intervallar usulini qo'llash kerak.
Xato 4. Ildiz va logarifmda aniqlanish sohasi unutiladi
Ildiz ostidagi ifoda manfiy bo'lolmaydi, logarifm ostidagi ifoda esa qat'iy musbat bo'lishi shart.
Bu shartlar yechimdan oldin yoziladi.
Bankdagi savol: √(x − 1) − √(2x − 5) > 0. Avval aniqlanish sohasi: x − 1 ≥ 0 va 2x − 5 ≥ 0,
demak x ≥ 2,5. Endi tengsizlikni ko'chiramiz: √(x − 1) > √(2x − 5). Ikkala tomon manfiy emas,
shuning uchun kvadratga ko'tarish mumkin: x − 1 > 2x − 5, bundan x < 4.
Ikkala shartni birlashtiramiz: 2,5 ≤ x < 4.
Agar aniqlanish sohasini yozmasangiz, faqat x < 4 qoladi — va bu variantlar ichida turadi.
Logarifmda ham xuddi shunday. log₂(x − 1) ≥ 3 savolida ko'pchilik darrov x − 1 ≥ 8 deb yozadi
va x ≥ 9 ni topadi. Javob to'g'ri, chunki x ≥ 9 allaqachon x > 1 shartini qanoatlantiradi. Lekin
belgi «≤» bo'lganda shu odat xatoga olib keladi: aniqlanish sohasi javobni kesib qo'yadi.
Intervallar usuli: besh qadamli tartib
Ko'phadli va kasr tengsizliklarning deyarli hammasi bitta usul bilan yechiladi. Uni yodlab olsangiz,
mavzuning yarmi yopiladi.
- Hamma narsani bir tomonga yig'ing, ikkinchi tomonda 0 qolsin.
- Surat va maxrajni ko'paytuvchilarga ajrating.
- Nollarni toping: surat nolga aylanadigan nuqtalar va maxraj nolga aylanadigan nuqtalar.
- Bu nuqtalarni son o'qiga qo'ying. Maxrajning nollari doim ochiq (to'ldirilmagan) nuqta bo'ladi.
- Eng o'ngdagi oraliqdan boshlab ishorani belgilang va chapga qarab almashtirib boring.
Beshinchi qadamda bitta istisno bor: agar ko'paytuvchi juft darajada bo'lsa (masalan (x − 2)²),
o'sha nuqtada ishora almashmaydi. Bu qoidani bilmaslik javobni butunlay o'zgartirib yuboradi.
O'zingizni tekshiring: bankdan beshta savol
Quyidagilar — platformamizdagi haqiqiy test savollari. Avval o'zingiz yeching, keyin javobga qarang.
| Savol | Javob |
|---|---|
| 10^(x−1) < 10⁴ | x < 5 |
| log₂(x − 1) ≥ 3 | x ∈ [9; +∞) |
| |2x + 1| ≤ 7 | x ∈ [−4; 3] |
| x² − |x| − 2 < 0 tengsizligini qanoatlantiruvchi butun sonlar soni | 3 ta (−1, 0, 1) |
| √(x−1) − √(2x−5) > 0 | x ∈ [2,5; 4) |
Uchtasini to'g'ri yechsangiz, mavzu asosan o'zlashtirilgan — faqat tezlik ustida ishlang.
Ikki yoki undan kam bo'lsa, quyidagi rejadan boshlang.
Nimadan boshlash kerak?
Tengsizliklarni «o'qib» o'rganib bo'lmaydi — faqat ishlab. Lekin tartibsiz ishlash ham foyda bermaydi:
xatolar to'rtta guruhga bo'linadi va ularni alohida yopish kerak.
| Kun | Nima qilinadi |
|---|---|
| 1–2 | Belgi qoidasi: manfiyga ko'paytirish va bo'lish. 20 ta oddiy chiziqli tengsizlik. |
| 3–4 | Intervallar usuli: kvadrat va ko'phadli tengsizliklar. |
| 5–6 | Modul: to'rt ko'rinish, har biriga 10 tadan misol. |
| 7–8 | Kasr tengsizliklar va qisqartirish tuzog'i. |
| 9–10 | Ildiz va logarifm: avval ODZ, keyin yechim. |
Har bir kundan keyin xato qilgan savolingizni qaytadan, boshidan yeching — javobga qaramasdan.
Xato qaerda ketganini topmasangiz, ertaga xuddi shu joyda yana adashasiz.
Mashq qilish uchun amaliyot bo'limidagi matematika testlaridan
foydalaning — bankimizda shu mavzu bo'yicha 390 ta savol bor. Butun matematika bo'limi bo'yicha
tayyorgarlik rejasini matematika qo'llanmasida
ko'rishingiz mumkin, umumiy tayyorgarlik tartibi esa
to'liq qo'llanmada.
Matematika DTM testida majburiy fan: 30 ta savol, har biri 1,1 ball, jami 33 ball.
Tengsizliklar bu savollarning sezilarli qismini tashkil qiladi — ya'ni bitta mavzuni yopish bilan
umumiy balingizni bir necha ball ko'tarishingiz mumkin.
Manba: TestMakon.uz o'z ma'lumotlar bazasi — 16 331 ta o'quvchi, «Tengsizliklar va ularning
sistemasi» mavzusi bo'yicha 474 584 ta ishlangan savol va 390 ta savol banki
(UserTopicPerformance, Question). Ball tuzilmasi: Vazirlar Mahkamasining
578-son qarori asosidagi test tartibi. Tekshirilgan sana: 2026-yil 27-avgust.
Shu mavzuda yana: trigonometriya — matematikadagi eng past natijali mavzu.
