Progressiyalar: 13 228 savolning atigi 28,7 foizi to‘g‘ri ishlangan
Gʻolibjon Davronov
Matematika milliy sertifikat imtihoniga 30 kun qoldi: kuzgi sessiya 28–29-sentabr kunlari o‘tkaziladi. Shu 30 kunda qaysi mavzuga qaytish kerakligini bizning o‘quvchilarimizning natijasi aniq ko‘rsatib turibdi.
TestMakon’da «Progressiyalar (arifmetik va geometrik)» mavzusida 4 025 nafar o‘quvchi jami 13 228 ta savol ishlagan. To‘g‘ri javob — 3 797 ta, ya’ni 28,7 %. Bu matematikadagi eng past uchta ko‘rsatkichdan biri: undan pastda faqat Trigonometriya (27,5 %) va Tengsizliklar (28,1 %) turibdi. Solishtiring: sonlar va amallar mavzusida natija 40,9 %, matnli masalalarda 37,5 %.
Progressiyalar sakkizta formuladan iborat — nega natija 28,7 foiz
Progressiyalar matematikaning eng katta mavzusi emas. Tengsizliklarda 475 180 ta savol ishlangan, progressiyalarda esa 13 228 ta — 36 barobar kam. Formulalar soni ham oz: hammasi bir jadvalga sig‘adi. Shunga qaramay xato ulushi deyarli bir xil.
Sabab formulalar sonida emas. Bank savollarining aksariyati bitta formulani emas, ikkitasini ketma-ket qo‘llashni talab qiladi: avval berilgan ikki haddan d yoki q topiladi, keyin topilgan qiymat yig‘indi formulasiga qo‘yiladi. Birinchi qadamda xato qilinsa, ikkinchisi ham xato chiqadi — javob esa variantlar orasida turadi, chunki test tuzuvchi aynan shu ikki xatoning natijasini chalg‘ituvchi variant qilib qo‘yadi.
Trigonometriyada to‘siq boshqacha — u yerda davriylik va ildizlar soni chalkashtiradi, biz buni alohida qo‘llanmada ko‘rsatgan edik. Progressiyada esa to‘siq — ikki qadamli zanjir.
Sakkiz formula: ikkalasi yonma-yon
Quyidagi jadvalni bir varaqqa ko‘chirib oling. Imtihonga qadar undan boshqa formula kerak bo‘lmaydi.
| Nima topiladi | Arifmetik progressiya | Geometrik progressiya |
|---|---|---|
| Ketma-ketlik qoidasi | aₙ₊₁ = aₙ + d | bₙ₊₁ = bₙ · q |
| n-had | aₙ = a₁ + (n − 1)d | bₙ = b₁ · qn−1 |
| Ikki had orasidagi bog‘lanish | aₙ = aₖ + (n − k)d | bₙ = bₖ · qn−k |
| Birinchi n hadning yig‘indisi | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1 |
| Yig‘indining ikkinchi shakli | Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d)/2 | — |
| O‘rta had xossasi | aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2 | bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ |
| Cheksiz yig‘indi | yo‘q | S = b₁/(1 − q), |q| < 1 |
Belgilar: a₁ — birinchi had, d — arifmetik progressiya ayirmasi, q — geometrik progressiya maxraji, n — had raqami, Sₙ — birinchi n ta hadning yig‘indisi.
Ikki turni ajratish qoidasi bitta: ayirma doimiy bo‘lsa — arifmetik, nisbat doimiy bo‘lsa — geometrik. 4, 9, 14, 19 ketma-ketligida har safar 5 qo‘shiladi — arifmetik. 3, 6, 12, 24 da har safar 2 ga ko‘paytiriladi — geometrik.
Qaysi formulani qachon olasiz
Imtihonda formulani eslash emas, to‘g‘risini tanlash qiyin. Shartdagi bitta so‘zga qarab qaror qiling:
| Shartda nima berilgan | Qaysi formuladan boshlaysiz | Nima chiqadi |
|---|---|---|
| Ikkita had raqami bilan (a₃ va a₈) | aₙ = aₖ + (n − k)d | d yoki q |
| Bitta had va yig‘indi | Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 | a₁ yoki n |
| «Nechta had» so‘ralgan | aₙ formulasi + tengsizlik | n ning butun qiymati |
| «Cheksiz yig‘indi» so‘zi bor | S = b₁/(1 − q) | Faqat |q| < 1 da |
| Uchta ketma-ket had | O‘rta had xossasi | Noma’lum had yoki d |
Eng qisqa tekshiruv: savolda «hadi» deb yozilganmi yoki «yig‘indisi» deb? Birinchisi — aₙ formulasi, ikkinchisi — Sₙ formulasi. Shu bitta savol xatolarning katta qismini to‘xtatadi.
Masala 1: a₃ = 14 va a₈ = 39 bo‘lsa, S₁₀ nechaga teng?
1-qadam. Ayirmani toping. a₈ = a₃ + (8 − 3)d, ya’ni 39 = 14 + 5d → 5d = 25 → d = 5.
2-qadam. Birinchi hadni toping. a₃ = a₁ + 2d → 14 = a₁ + 10 → a₁ = 4.
3-qadam. O‘ninchi hadni toping. a₁₀ = 4 + 9·5 = 49.
4-qadam. Yig‘indini hisoblang. S₁₀ = 10(4 + 49)/2 = 5 · 53 = 265.
Tekshiruv: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49 — o‘ninchi had 49, hammasining yig‘indisi 265. Uchinchi had 14 va sakkizinchisi 39 ekani shartga mos.
Bu yerda nima xato ketadi: ko‘pchilik ikkinchi qadamda a₃ = a₁ + 3d deb yozadi va a₁ = −1 chiqaradi. Uchinchi hadgacha ikki qadam bor, uch emas: a₁ → a₂ → a₃. Shu bitta xatodan keyin S₁₀ = 220 chiqadi — va bu son variantlar orasida turadi.
Masala 2: b₂ = 6 va b₅ = 48 bo‘lsa, olti hadning yig‘indisi qancha?
1-qadam. Maxrajni toping. b₅ = b₂ · q³ → 48 = 6q³ → q³ = 8 → q = 2.
2-qadam. Birinchi hadni toping. b₂ = b₁ · q → 6 = 2b₁ → b₁ = 3.
3-qadam. Yig‘indini hisoblang. S₆ = 3(2⁶ − 1)/(2 − 1) = 3 · 63 = 189.
Tekshiruv: 3, 6, 12, 24, 48, 96 — ikkinchi had 6, beshinchisi 48, yig‘indisi 189.
Bu yerda nima xato ketadi: daraja noto‘g‘ri olinadi — b₅ = b₂ · q⁴ deb yoziladi, chunki 5 va 2 raqamlari orasidagi farq emas, ularning o‘zi hisobga olinadi. Qoida oddiy: daraja — raqamlar farqi, 5 − 2 = 3.
Masala 3: a₁ = 7, d = 4 bo‘lsa, 100 dan kichik nechta had bor?
Bu tur savol progressiya bankidagi eng ko‘p uchraydiganlaridan biri va aynan shu yerda «bitta had» xatosi tug‘iladi.
1-qadam. Umumiy hadni yozing. aₙ = 7 + (n − 1)·4 = 4n + 3.
2-qadam. Tengsizlik tuzing. 4n + 3 < 100 → 4n < 97 → n < 24,25.
3-qadam. n butun son ekanini eslang. n ≤ 24, ya’ni 24 ta had.
Tekshiruv: a₂₄ = 4·24 + 3 = 99 (100 dan kichik), a₂₅ = 103 (kichik emas). Demak 24 ta.
Bu yerda nima xato ketadi: n < 24,25 dan n = 25 deb yaxlitlanadi yoki tengsizlik «≤ 100» deb o‘qiladi. Yechimni doimo oxirgi va undan keyingi hadni hisoblab tugating — ikki qator yozuv butun masalani tasdiqlaydi.
Eng ko‘p uchraydigan to‘rtta xato
| Xato | Nima sodir bo‘ladi | Tekshirish usuli |
|---|---|---|
| n-had o‘rniga yig‘indi formulasi qo‘llaniladi | a₁₀ = 49 o‘rniga 265 yoziladi | Savolda «hadi» so‘zi bormi yoki «yig‘indisi»? |
| n noto‘g‘ri sanaladi | a₃ dan a₈ gacha 5 qadam, 6 emas | n − k ni yozib chiqing: 8 − 3 = 5 |
| q manfiy ekani unutiladi | q² = 4 dan faqat q = 2 olinadi | q = ±2 ni ikkalasini tekshiring |
| Cheksiz yig‘indi |q| ≥ 1 da hisoblanadi | Manfiy yoki ma’nosiz javob | |q| < 1 shartini yozib qo‘ying |
To‘rttasining uchtasi hisob-kitobga emas, o‘qishga tegishli: shart noto‘g‘ri tushuniladi. Shuning uchun progressiya masalasini o‘qib bo‘lgach, yechishdan oldin bir jumla yozing: «Menga n-had kerak» yoki «Menga yig‘indi kerak».
Sertifikat imtihonida progressiyalar qayerda chiqadi
Matematika milliy sertifikat imtihoni 45 topshiriqdan iborat va 150 daqiqa davom etadi. Rasmiy spetsifikatsiyada Y-1 bo‘limining eng katta bloki — «Algebraik shakl almashtirishlar», unga 11 ta topshiriq ajratilgan. Progressiyalar aynan shu blok ichida: trigonometriya, logarifm, foizlar va matnli masalalar bilan bir qatorda.
Ya’ni progressiya savoli chiqishi ham, chiqmasligi ham mumkin — lekin u tushadigan blok Y-1 bo‘limining uchdan biridan ko‘prog‘ini egallaydi. Imtihon tuzilishi, daraja shkalasi va DTM’da necha ball berishi haqida matematika sertifikati sahifasida yozilgan; baholash tartibi esa «Milliy sertifikat qanday ishlaydi» sahifasida.
O‘zingizni tekshiring
Oltita savol — har biri 30 soniyalik. Javobni yopib qo‘ying va o‘zingiz yeching.
| Savol | Javob |
|---|---|
| 1. a₁ = 3, d = 7. a₁₂ nechaga teng? | 3 + 11·7 = 80 |
| 2. Arifmetik progressiyada a₄ = 11, a₉ = 31. d nechaga teng? | (31 − 11)/(9 − 4) = 4 |
| 3. b₁ = 5, q = 3. Uchinchi had nechaga teng? | 5 · 3² = 45 |
| 4. 2 + 6 + 18 + … ketma-ketlikda birinchi 5 ta hadning yig‘indisi? | 2(3⁵ − 1)/(3 − 1) = 242 |
| 5. 9 + 3 + 1 + … cheksiz yig‘indisi? | q = 1/3, S = 9/(1 − 1/3) = 13,5 |
| 6. a₁ = 5, d = 6. Nechta had 80 dan kichik? | 6n − 1 < 80 → n ≤ 13, ya’ni 13 ta |
To‘rttadan kam to‘g‘ri javob chiqsa, jadvalning birinchi ikki qatoriga qayting: aₙ va Sₙ formulalarini ajrata olmaslik qolgan hamma xatoning manbai.
Mashq qilish uchun: matematika sertifikat formatidagi bepul variantlar va bank savollari. Yaqin mavzular bo‘yicha ikkita qo‘llanma bor — tengsizliklar (28,1 %) va matematika formulalari va mavzular ro‘yxati.
Manba: imtihon sanalari va tuzilishi — Baholash agentligi e’loni asosidagi 2026-yil kuzgi grafigi; topshiriqlar taqsimoti — matematika fani rasmiy spetsifikatsiyasi (IV bo‘lim); natija ko‘rsatkichlari — TestMakon bazasi, 2026-yil 29-avgust holatiga.
